Экономико-математическое моделирование

a) Допустимое условие экстремума:

Так как порядок, впервые не обращающейся в нуль производной равен 2 (четный), то функция имеет экстремум, а так как эта производная положительная, то функция имеет минимум.

2.3.3 Результаты расчетов

Решая аналитическим методом данную задачу, мы получили оптимальное значение долговечности, равное . Оно отличается от оптимального значения долговечности, найденного методом разложения в ряд Тейлора, равного на 25%.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

Решение одномерной задачи статической оптимизации численными методами

.1 Постановка задачи

Требуется найти экстремум функции , где .

Левая граница интервала поиска: .

Правая граница интервала поиска: ,

где - точка экстремума функции , найденная аналитическим методом.

Погрешность нахождения экстремума

При этом нахождение экстремума должно реализовываться следующими методами:

половинного деления;

"золотого" сечения;

с использованием чисел Фибоначчи.

.2 Метод половинного деления.

Определяется интервал поиска (a,b).

Задается точность ε - точность местоположения экстремума от переменной u.

Сущность метода (на примере нахождения минимума):

Исходный интервал делится пополам, т.е. (b1 + a1)/2 = u1

Далее делаются шаги вправо и влево на величину δ = (0.1, … ,0.5) ε.

- δ, находим значения Q()

+ δ, находим значения Q()

Затем сравниваем эти значения.

Если , рассматриваем новый отрезок (ai+1 = ; bi+1 = bi).

Затем сравниваем эти значения.

Далее процедура сокращения интервала поиска повторяется.

Процедуры сокращения интервала поиска заканчиваются когда (b - a)·(1/2)i = < ε .

Число обращений функций - N = i·2.

3.3 Метод “золотого сечения”

В этом методе отрезок [a,b] разбивается точками x1 и x2, используя пропорцию золотого сечения:

|ab|/ |x1b| = |x1b| / |ax1| (для точки x1)

|ab|/ |ax2| = |ax2| / |x2b| (для точки x2)

К золотому сечению приводит деление отрезка на две неравные части таким образом, что отношение длины всего отрезка к длине его большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей части.

Здесь и далее x1 будет левее x2, a |ax1| = |x2b|,

т.е. если известна x1, то x2 = b - (x1 - a),

а если известна x2, то x1 = a + (b - x2).

Находим значение функции в этих точках. В случае минимизации функции при условии F1 F2 отрезок [a,b] сужается до длины с новыми границами: a1 = a, b1 = x2, а при условии F2 < F1 отрезок [a,b] сужается до длины с новыми границами: a1 = х1, b1 = b.

В случае максимизации функции при условии F1 F2 отрезок [a,b] сужается до длины с новыми границами: a1 = a, b1 = x2, а при условии F2 F1 отрезок [a,b] сужается до длины с новыми границами: a1 = х1, b1 = b.

Далее процедура использования стратегии золотого сечения повторяется для большего отрезка в полученном интервале поиска. Поиск заканчивается, когда bi - ai <= ε, где i - число сокращений интервала поиска.

Число вычислений функции N = i+1

3.4 Метод с использованием чисел Фибоначчи.

Используются следующие числа Фибоначчи, формируемые по алгоритму: F0 = F1 = 1; для Fi = Fi-2 + Fi-1 для i=2,3… Например