Экономико-математическое моделирование

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Аналитическое определение экстремума функции одной и нескольких переменных

.1 Функции одной переменной

а) Постановка задачи: исследовать на экстремум функцию вида

y=f(x)=a0+a1*x+a2*x2 (1.1)

б)Необходимое условие экстремума: первая производная функции должна принимать значение, равное нулю.

dQ (x)/ dx=0 (1.2)

Для функции (1.1) получим

d Q (x)/ dx= a1+2a2*x (1.3)*=-a1/2*a2 (1.4)

в)Достаточное условие экстремума : порядок впервые не обращающейся в ноль производной при выполнении условия (1.2) должен быть чётным. Причём, если значение этой производной положительное, то функция Q (x) имеет минимум, а если значение этой производной отрицательное, то функция Q (x) имеет максимум.

Для функции (1.1) имеем:

d Q (x)/ dx =0

d2 Q (x)/ dx2 =2*a2

При выполнении необходимого условия экстремума (1.2) получили порядок впервые не обращающийся в ноль производной четный (он равен 2). Следовательно, функция Q (x) имеет экстремум. Знак второй производной в данном примере определяется знаком коэффициента a2.

1.2Функция многих переменных

а) Постановка задачи: исследовать на экстремум функцию вида:

Q(x1,x2)=a0+a1*x1+a2*x12+a3*x2+a4*x22+ a5* x1*x2. (1.5)

б) Необходимое условие экстремума: частные производные функции должны принимать значения, равные нулю

Q (x1,…, xn)/xi=0, i=1,…,n (1.6)

Для функции (1.5) получим

экстремум функция оптимизация инвестиция

¶ Q (x1, х2)/ ¶x1=0,

2*a2*x1+a5*x2=-a1. (1.7)

¶ Q (x1, х2)/ ¶x2=0,

a5*x+2a4*x2=-a3 (1.8)

По формуле Крамера :

X 1=D1/D, (1.9)

X 2=D2/D (1.10)

D=4*a2*a4-a52 (1.11)

D1=-2*a1*a4+a3*a5 (1.12)

D2=-2*a2*a3+a1*a5 (1.13)

Систему уравнений (1.7) и (1.8) можно решать методом подстановки.

в)Достаточное условие экстремума.

Разложим функцию Q (x1…,xn) в ряд Тейлора относительно (x1*,…,xn*) и с учётом (1.6) получим

DQ(x1*,…,xn*)=0,5ai,j*zi*zj, (1.14)

где=Dxi=xi - |xi*|=Dxj=xj-|xj*|

Выражение (1.14 ) называется квадратичной формой.

Составляется матрица из вторых частных производныхj = ¶Q(x1,…,xn)/ ¶xi¶xj

в виде

(1.15)

Квадратичная форма (1.14) является положительно-определённой, если все диагональные миноры матрицы (1.15) строго положительные. Квадратичная форма (1.14) является отрицательно-определённой, если все нечётные диагональные миноры матрицы (1.15) строго отрицательные, а чётные диагональные миноры матрицы (1.15) строго положительные.

Определение:

Функция Q (x1,…,xn) имеет минимум, если квадратичная форма (1.14) строго положительная.

Функция Q (x1,…,xn) имеет максимум, если квадратичная форма (1.14) строго отрицательная.

Для функции (1.5) имеем:= ¶Q(x1,x2)2/¶x1 2=2*a2

a22= ¶Q(x1,x2)2/¶x2 2=2*a4= ¶Q(x1,x2)2 /¶x1¶x2 = a21= ¶Q(x1,x2)2 /¶x2¶x1 =a5

Ниже приведены значения коэффициентов в уравнениях (1.1)

( таблица 1) и (5) (таблица2)

Таблица 1