Экономико-математическое моделирование

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Аналитическое определение экстремума функции одной и нескольких переменных

.1 Функции одной переменной

а) Постановка задачи: исследовать на экстремум функцию вида

y=f(x)=a0+a1*x+a2*x2 (1.1)

б)Необходимое условие экстремума: первая производная функции должна принимать значение, равное нулю.

dQ (x)/ dx=0 (1.2)

Для функции (1.1) получим

d Q (x)/ dx= a1+2a2*x (1.3)*=-a1/2*a2 (1.4)

в)Достаточное условие экстремума : порядок впервые не обращающейся в ноль производной при выполнении условия (1.2) должен быть чётным. Причём, если значение этой производной положительное, то функция Q (x) имеет минимум, а если значение этой производной отрицательное, то функция Q (x) имеет максимум.

Для функции (1.1) имеем:

d Q (x)/ dx =0

d2 Q (x)/ dx2 =2*a2

При выполнении необходимого условия экстремума (1.2) получили порядок впервые не обращающийся в ноль производной четный (он равен 2). Следовательно, функция Q (x) имеет экстремум. Знак второй производной в данном примере определяется знаком коэффициента a2.

1.2Функция многих переменных

а) Постановка задачи: исследовать на экстремум функцию вида:

Q(x1,x2)=a0+a1*x1+a2*x12+a3*x2+a4*x22+ a5* x1*x2. (1.5)

б) Необходимое условие экстремума: частные производные функции должны принимать значения, равные нулю

Q (x1,…, xn)/xi=0, i=1,…,n (1.6)

Для функции (1.5) получим

экстремум функция оптимизация инвестиция

¶ Q (x1, х2)/ ¶x1=0,

2*a2*x1+a5*x2=-a1. (1.7)

¶ Q (x1, х2)/ ¶x2=0,

a5*x+2a4*x2=-a3 (1.8)

По формуле Крамера :

X 1=D1/D, (1.9)

X 2=D2/D (1.10)

D=4*a2*a4-a52 (1.11)

D1=-2*a1*a4+a3*a5 (1.12)

D2=-2*a2*a3+a1*a5 (1.13)

Систему уравнений (1.7) и (1.8) можно решать методом подстановки.

в)Достаточное условие экстремума.

Разложим функцию Q (x1…,xn) в ряд Тейлора относительно (x1*,…,xn*) и с учётом (1.6) получим

DQ(x1*,…,xn*)=0,5ai,j*zi*zj, (1.14)

где=Dxi=xi - |xi*|=Dxj=xj-|xj*|

Выражение (1.14 ) называется квадратичной формой.

Составляется матрица из вторых частных производныхj = ¶Q(x1,…,xn)/ ¶xi¶xj

в виде

(1.15)

Квадратичная форма (1.14) является положительно-определённой, если все диагональные миноры матрицы (1.15) строго положительные. Квадратичная форма (1.14) является отрицательно-определённой, если все нечётные диагональные миноры матрицы (1.15) строго отрицательные, а чётные диагональные миноры матрицы (1.15) строго положительные.

Определение:

Функция Q (x1,…,xn) имеет минимум, если квадратичная форма (1.14) строго положительная.

Функция Q (x1,…,xn) имеет максимум, если квадратичная форма (1.14) строго отрицательная.

Для функции (1.5) имеем:= ¶Q(x1,x2)2/¶x1 2=2*a2

a22= ¶Q(x1,x2)2/¶x2 2=2*a4= ¶Q(x1,x2)2 /¶x1¶x2 = a21= ¶Q(x1,x2)2 /¶x2¶x1 =a5

Ниже приведены значения коэффициентов в уравнениях (1.1)

( таблица 1) и (5) (таблица2)

Таблица 1

Значения коэффициентов уравнения 1

№ п/п

№ п/п

           

1

2

-20

20

29

20

-38

11

2

4

-22

19

30

18

-40

12

3

6

-24

18

31

16

-42

13

4

8

-26

17

32

14

-44

14

5

10

-28

16

33

12

-46

15

6

12

-30

15

34

10

-48

16

7

14

-32

14

35

8

-50

17

8

16

-34

13

36

6

-52

18

9

18

-36

12

37

4

-54

19

10

20

-38

11

38

2

-56

20

11

22

-40

10

39

20

-20

20

12

24

-42

9

40

22

-22

19

13

26

-44

8

41

24

-24

18

14

28

-46

7

42

26

-26

17

15

30

-48

6

43

28

-28

16

16

32

-50

5

44

30

-30

15

17

34

-52

4

45

32

-32

14

18

36

-54

3

46

34

-34

13

19

38

-56

2

47

36

-36

12

20

38

-20

2

48

38

-38

11

21

36

-22

3

49

40

-40

10

22

34

-24

4

50

42

-42

8

23

32

-26

5

51

44

-44

6

24

30

-28

6

52

46

-46

4

25

28

-30

7

53

48

-48

2

26

26

-32

8

54

50

-50

2

27

24

-34

91

55

52

-50

2

28

22

-36

10

56

48

-50

2

Перейти на страницу:
1 2 3 4 5 6

 

Как стать лидером

На каком основании людей избирают лидерами, либо позволяют им становиться таковыми? Для объяснения этого явления был разработан ряд теорий, однако последние исследования сосредоточены на так называемых имплицитных теориях лидерства.

Анализ потребителей

Для успешной работы фирмы на рынке необходимо не только определиться с целями, но и понять, как их можно достичь. Для этого надо очень хорошо изучить своего потребителя, а может, даже и создать новый тип потребителя.

Выбор карьеры

Прежде всего менеджеру необходимо определить какой вид карьеры он предпочитает. Это и определит его стратегию. Если он менеджер знает, какое положение хочет занять через пять или даже десять лет, то можно определить направление действий и составить задачи, которых необходимо достичь.