Эконометрические модели

Вторым формальным способом проверки временного ряда на стационарность является тест на наличие единичных корней - тест Дики-Фуллера (DF) или расширенный тест Дики-Фуллера (ADF) . В основу указанных тестов положена следующая регрессия:

∆yt= µ+ δ t + ɑ yt-1+ ∑ni=1ʙi∆yt-i+et,

где ∆yt , α, β, μ - коэффициенты регрессии; t - временной тренд; εt - остаточный член регрессии.

Если ∑βi= 0, то это DF-тест, если же ∑βi≠ 0, то - ADF-тест. В прикладных исследованиях используется ADF-тест, так как он позволяет тестировать гипотезу о наличии единичного корня в моделях, где количество лагов может быть больше одного. В ADF-тесте нулевая гипотеза заключается в наличии единичного корня, что на языке модели (3) интерпретируется как α = 0.

Проверка гипотезы осуществляется путем сравнения фактической величины t-статистики при α с соответствующим табличным значением. Если абсолютное значение фактического значения t превысит табличное на установленном уровне значимости, нулевая гипотеза должна быть отвергнута и принята альтернативная гипотеза, заключающаяся в отсутствии единичных корней и стационарности временного ряда.

Таким образом, как графики автокорреляционной и частной автокорреляционной функций, так и расширенный тест Дики-Фуллера свидетельствуют о нестационарности рассматриваемого временного ряда. Классическим способом приведения нестационарных рядов к стационарным является процесс взятия последовательных разностей.

Идентификация модели

После того как получен стационарный временной ряд, необходимо определить параметры ARMA(p, q) модели. Используемые при этом методы являются не вполне точными, что может при последующем анализе привести к выводу о непригодности идентифицированной модели и необходимости замены ее альтернативной моделью. Как правило, при построении моделей временных рядов критерии качества подгонки моделей применяются для сравнения моделей между собой. Поскольку оценки коэффициентов проводятся путем оптимизации, фактически речь идет о выборе порядка модели, то есть о сравнении моделей с различным числом параметров. Традиционно, для того чтобы сформулировать гипотезы о возможных порядках авторегрессии AR(p) и скользящего среднего MA(q), строят автокорреляционную и частную автокорреляционную функцию стационарного временного ряда.

Проверка адекватности модели

Каждая из моделей, выбранных на предыдущем этапе, проверяется на соответствие исходным данным, причем выбирается модель с наименьшим количеством параметров. Неадекватности, обнаруженные в процессе такой проверки, могут указать на необходимую корректировку модели, после чего производится новый цикл подбора и так до тех пор, пока не будет получена удовлетворительная модель. Существует несколько критериев, анализ которых позволит оценить, насколько модель соответствует данным. Во-первых, оценки коэффициентов модели должны быть статистически значимы, то есть соответствующие p значения t-статистик должны быть меньше выбранного порогового значения.

Во-вторых, остатки в модели должны иметь нулевую автокорреляцию: для этого целесообразно рассмотреть статистику Бокса-Пирса, где для отклонения нулевой гипотезы о наличии автокорреляции необходимо, чтобы полученное значение Q было больше соответствующего критического значения; или провести LM-тест Бреуша - Годфрея на основе F-статистики. В-третьих, ошибки в модели должны быть распределены по нормальному закону. Значения асимметрии (Skewness), эксцесса (Kurtosis), а также статистика Жарка-Беры и соответствующее ей p-значение говорят о нормальности ошибок рассматриваемой модели.